我们之前学过导数以及偏导数，我们知道了导数其实就是在研究瞬时变化率，偏导数也是借助导数的定义，研究了偏增量的变化。
偏导数定义：z＝f(p)＝f(x,y)
还有就是，偏导数主要是反映了函数f(p)沿坐标轴方向上的变化率。
接下来我们来看一下方向导数的定义：
设函数z＝f(x,y,z)在点P（x0,y0,z0）的某个邻域内有定义，l是一个非零向量，其中单位向量（cosα , cosβ，cosγ）与l同方向。
此时存在以下极限：
我们将上述趋近数，以及每个增量用方向角表示，可以得到一下几种情况：
如果我们将上述极限看作一个函数，那么就称函数是在点P处沿方向l的方向导数。
注意：根据定义，函数f(x,y,z)在点P沿着x轴正向（1，0，0），y轴正向（0，1，0），z轴正向（0，0，1）的方向导数分别为fx,fy,fz 。
函数f（x,y,z）在点P处沿着x轴负向（-1，0，0），y轴负向（0，-1，0），z轴负向（0，0，-1）的方向导数分别为-fx,-fy,-fz 。
所以说，方向导数实际上就是fx,fy,fz的推广。
我们接着往下看：
定理：若函数f(x,y,z)在点P（x,y,z）处可微，则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在，并且有如下表达式成立。
学习完方向导数，我们来做几个例题，练习一下，以便更好的理解定义：
根据题目，我们知道是求函数从一个点到另一个点的方向的方向导数。
根据题意，我们可以先求出l的方向，实际上就是PQ向量与PQ向量同方向的单位向量。如上所述。
表示出来过后，再将x,y的偏导数求出来，将（1，0）这个点代入偏导数，可得某点处的偏导数值。
全部求出过后，代入公式即可，就可以得到方向导数。
我们接着往下看，要注意的问题：
问题一：仅有函数在一点可偏导，未必可推出函数在该点处沿各方向的方向导数存在。
如下所示，如果ab≠0时，方向导数等于无穷，是不存在的。
所以说，函数在一点连续也未必能得到在该点处沿各方向的方向导数都存在。
问题二：函数在一点处沿着各方向的方向导数都存在，那么在该点处一定连续吗？
通过上述例子，我们可以得到，就算方向导数都存在，在该点处也未必连续。
此时也可说明，函数可微并不是函数沿着任意方向的方向导数存在的必要条件。既：函数可微并不能推出沿着任意方向的方向导数存在。
大家下去做一做上面的练习题，评论区留下答案。